|
|
Арбузный ломтик по средам № 5
Космические овалы Кассини
| |
Да вьется всегда вокруг цепи правил серебряная нить фантазии!
Роберт Шуман |
Древние греки превозносили сферу, считая ее законченной самодостаточной идеальной формой, лежащей в основании мироздания. Многие помнят, наверное, старинную гравюру, на которой траектории небесных светил моделировались вписанными в сферу Платоновыми телами — этакая всеобщая гармония мира. Законы Кеплера, первый из которых говорит, что планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце, разрушил многовековую птолемееву идиллию, развенчал культ сферы. Сам Кеплер был в шоке от такого «варварства». Хотя до сих пор мы говорим по привычке «в высших сферах» или «сфера деятельности», отдавая дань античной красивости мира.
Напомним определение эллипса — это плоская фигура, у которой для каждой точки сумма расстояний от двух фиксированных точек (фокусов) постоянна. От соотношения расстояний между фокусами и этой суммы расстояний (или от соотношения полуосей) можно получить разные фигуры — от круга до (постепенно сплющиваясь) вырождения в линию. Если котенок сидит на лестнице, низ которой скользит по полу, а верх не отрывается от стены, то котенок опишет траекторию эллипса. Причем, если он сидит посередине лестницы, то опишет дугу окружности. Если на верхнем или на нижнем конце лестницы, то траектория выродится в прямую линию. Поэкспериментируйте на досуге с лестницей и котенком.
Занимательные задачи, связанные с эллипсом, основаны на его отражательных свойствах — лучи, выйдя из одного фокуса, обязательно соберутся в другом. А если не из фокуса? У Мартина Гарднера рассматривается бильярдный стол в форме эллипса. Так вот, если послать шар так, чтобы он не пересек отрезок между фокусами, то он так и будет кататься, не пересекая этот отрезок, заметая поверхность вокруг воображаемого эллипса меньших размеров. Если же послать шар (из произвольной точки) так, чтобы он пересек отрезок между фокусами эллипса, то он так и будет двигаться, каждый раз пересекая этот отрезок и касаясь двух воображаемых ветвей гипербол с фокусами в фокусах эллипса. Желающие могут реализовать эту забаву в виде апплета — прекрасное пособие для изучения эллипса.
И этюд для технологов — как расточить эллиптическое отверстие? Можно, конечно, почитать второй том классической «Технологии машиностроения» Соколовского, не переиздававшейся с 1948 года, но лучше попробовать свои силенки.
А еще можно в уравнении эллипса x2/a2 + y2/b2 = r2 попробовать поменять показатель степени, брать не 2, а от 0 до, предположим, 10, прорисовать совместно и проследить, как меняется форма от ромба до прямоугольника.
Пока на время распрощаемся с эллипсом. Теперь представьте любителя математики, рассматривающего определение эллипса… Вполне естественно, что у него мелькнет мысль — а что, если постоянным будет не сумма расстояний от двух точек, а их произведение? Не поленитесь, попробуйте — напишите формулы расстояний от текущей точки с координатами (x, y) до фокусов (−a, 0) и (a, 0), перемножьте их и попробуйте привести полученное уравнение четвертой степени к «красивому» виду. Это уравнение и соответствует так называемым овалам Кассини. Знаете почему?
Джовани Кассини родился в 1625 году в Италии и прожил 87 лет. Обучался в школе иезуитов в Генуе. В 1648—1649 годах работал наблюдателем в обсерватории Панзано. За свои познания в астрономии (а еще он добился успехов в гидравлике, оптике, картографии) он был приглашен в 1650 году сенатором Болоньи маркизом Корнелом Малвасиа на должность профессора астрономии для расчета астрологических таблиц. В 1663—1665 годах по личному указанию Папы Римского Кассини руководил работами по защите от наводнений и реконструкции мостов, это нам не так интересно. Он наблюдал комету 1652—1653 годов и посвятил ее герцогу Модены, описал для королевы Швеции Кристины (бывшей тогда в изгнании в Италии) появление кометы 1656 года. В 1664 году Кассини сделал вывод о том, что кометы вращаются вокруг Солнца по вытянутым в направлении Сириуса орбитам.
В том же 1664 году Кассини получил в распоряжение мощный телескоп, линзы для которого изготовил лучший тогда мастер Гиусепп, что позволило сделать целый ряд замечательных открытий. В июле 1664 он измерил период вращения Юпитера вокруг своей оси, обнаружил полосы и пятна на этой планете, увидел, что планета была сплющена между полюсами. В 1666 году он измерил период вращения Марса вокруг своей оси, получив точность в пределах трех минут, и наблюдал поверхность этой планеты. Он первым описал детальные наблюдения лун Юпитера в 1668 году. Тогда еще были обнаружены некоторые несоответствия данных, которые астрономы смогли объяснить позже, только зная значение скорости света. Правильнее сказать, именно эти расхождения в появлении спутников Юпитера в зависимости от положения Земли, когда путь света удлинялся за счет орбиты Земли, и были наглядной иллюстрацией конечности скорости света. Скорость света вычислил О. К. Ремер в 1676 году, пользуясь именно данными Кассини о движении спутников Юпитера.
Репутация ученого была необычайно высока. В 1667 году Джовани Кассини был приглашен в Париж для организации обсерватории и остался во Франции до конца жизни. В Париже Кассини продолжал делать революционные открытия — открыл четыре спутника Сатурна, в 1675 году открыл промежуток между кольцами Сатурна, шириной 5000 км. Он так и называется сейчас — «щель Кассини». Также он впервые предложил, что кольца Сатурна состоят из камней разных размеров.
В 1659 году Кассини познакомился с данными наблюдений Тихо Браге, которые тот пытался увязать с геоцентрической системой, а позже принял теорию Коперника о гелиоцентризме. Известны также многочисленные работы Джовани Кассини уже вместе с сыном Якусом Кассини по синхронизации часов на Земле, по изучению сплюснутости нашей планеты, по измерению парижского меридиана. В 1709 году Кассини передал руководство астрономией сыну, так как стал терять зрение. Современники вспоминали, что глубокая религиозность помогала ослепшему ученому не терять бодрость духа и обычную доброту.
Не случайно благодарные потомки назвали автоматическую космическую станцию, летящую к Юпитеру и Сатурну, именем великого астронома Кассини.
Но самое главное для нас в этом историческом путешествии то, что в 1680 году Джовани Кассини изучал кривую кассиниану, которая является геометрическим местом точек, чье произведение расстояний от двух фиксированных фокусов постоянно. Он работал над этой кривой в процессе изучения относительных движений Земли и Солнца и предложил это как кривая для планетарных орбит подходит больше, чем эллипс, предложенный Кеплером. Открытая чуть позже лемниската Якоба Бернулли была частным случаем овала Кассини, но это не было осознано математиками в течение ста лет.
По каким же орбитам движутся планеты? При маленьком эксцентриситете (у орбиты Марса полуоси отличаются на 1/11 часть, у орбиты Земли — на 1/65) линии эллипса и овала Кассини практически совпадают… И все-таки, при всем восхищении перед великим астрономом, мы должны признать, что согласно законам Ньютона и закону Всемирного тяготения, траектории движения тел описываются эллипсом или параболой в зависимости от начальных условий. Хотя споры о виде траекторий идут и до сих пор, так что шансы овалов Кассини на приоритет по-прежнему велики.
Если мы будем рисовать овалы Кассини, то получим разные картинки в зависимости от соотношения радиуса кривой и расстояния между фокусами. Это может быть классический овал, овал с сужающимся пояском, переходящий в знак бесконечности и даже распадающийся на две части.
Что еще интересного, спросите далее? Есть красивые продолжения. Дело в том, что рассмотренные овалы с двумя фокусами — всего лишь частный случай овалов Кассини, обобщенных на произвольное количество фокусов. Это обобщение открыл и исследовал в 1843 году Серрет (Serret), и он же назвал все множество именем великого астронома. Задав, например, количество фокусов равным трем, получим семейство овалов Кассини с тремя полюсами с теми же свойствами, что и «классический» двухполюсный. А еще можно задать количество полюсов дробным, например 1,5, и закричать от восторга при виде получившегося семейства кривых. И только необходимость вставать на следующее утро может прервать эти чудные опыты.
Лемнискату Бернулли можно определить как геометрическое место точек, для которых произведение расстояний от двух фокусов равно квадрату половины расстояния между фокусами. Великий физик описал эту «похожую на 8 поверхность» в своей статье Acta Eruditorumon, вышедшей в 1694 году. К сожалению, он не знал, что его лемниската — частный случай овалов, описанных Кассини четырнадцатью годами ранее. Лемнискату Бернулли можно также рассматривать как частный случай циссоиды. Но это уже для самых утонченных ценителей, здесь углубляться не будем. Кстати — спросите, чему равна площадь одного крыла бабочки лемнискаты Бернулли? Если a — половина фокусного расстояния, то S = a2 (!!!) безо всяких там π и прочих коэффициентов, словно это обычная квадратная табуретка!
А знаете ли вы, какая фигура получится при разрезании тора (бублика)? Правильно — овалы Кассини. Проводите разрезы параллельно главной оси тора, и увидите там все варианты рассмотренных выше таких уже знакомых овалов Кассини. Когда снова придется кушать баранки — не забудьте разглядеть срез.
Заинтересовавшимся предлагаю посетить галерею изображений овалов Кассини, а тем, кому интереснее бублики — прочесть статью о торе. И поблагодарим мысленно великого астронома, доставившего нам и приятную забаву с овалами.
31.03.2004
Теги: занимательные модели
|
Ваш отзыв автору
|
|
|
