192 статьи

Звездчатые развлечения

— Это был Всадник-с-Двумя-Головами.
— Ах, вот что — с двумя головами… Странно.
— Нормально, — устало сказал Бон Жуан. — Если где-то есть и скачет Всадник без головы — надеюсь, Вы Майн Рида читали? — то совершенно естественно, что у одного из оставшихся в мире всадников будет две головы.

Евгений Васильевич Клюев. Между двух стульев

Наверное, каждый может нарисовать пятиконечную звезду (пентаграмму) не отрывая ручки от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии. Поразмышляем чуть на эту тему. Сначала определимся. Правильным многоугольником будем называть многоугольник, стороны которого равны, а вершины лежат на окружности. Выпуклым многоугольником будем считать тот, у которого соединены друг с другом лишь ближайшие вершины. А если не ближайшие, то такой многоугольник назовем звездчатым или звездным. А теперь попробуйте нарисовать (каждый раз имеется в виду не отрывать перо от бумаги) звездчатый семиугольник. В общем-то он не должен быть идеально правильным, нам важен принцип рисования, достаточно, если вы нанесете предварительно семь точек приблизительно на одной окружности (можно мысленно) и будете их соединять. Идеальная забава для скучных уроков, лекций, заседаний и для общения с детьми. Нарисовали звездчатый семиугольник? Какие вопросы у вас появились?

Удивительно, но звездных семиугольников может быть два вида. Первый — если соединять вершины через одну. Второй — если соединять вершины, пропуская две, с третьей. Можно пропускать и три, но этот вариант совпадет по конечной картинке со вторым видом.

А как с восьмиугольником? Да, вы можете спросить, почему пропустили шестиугольник, но наверняка сами догадаетесь, что кроме двух пересекающихся треугольников, начертанных на флаге Израиля и известных как «Звезда Давида», рисовать тут больше нечего. Зато с восьмиугольником сравнительный простор для исследований. Если соединять от первой вершины через одну, то нарисуем квадрат, для второго квадрата, пересекающего первый нам придется оторвать перо от бумаги. Будем считать такие звездчатые многоугольники распадающимися. Так, десятиугольник можно представить в виде двух самостоятельных пересекающихся пентаграмм, двенадцатиугольник может распадаться тремя способами — на три квадрата, четыре треугольника или два шестиугольника. Зато если в восьмиугольнике обходить пропуская две вершины, то получим красивейшую фигуру, лежащую в основе почти всех мусульманских орнаментов. Пропускать три вершины не имеет смысла — многоугольник вырождается в отдельные линии, связывающие противоположные вершины.

Теперь вы в теме, можете самостоятельно исследовать звездчатые многоугольники и подумать над следующими волнующими красивыми вопросами.

1. Сколько диагоналей можно провести в правильном n-угольнике? Попробуйте найти общую формулу. Требование «правильности» не строгое, можно деформировать картинку, лишь бы не менялась топологическая связанность или взаимное расположение вершин.

2. Сложный вопрос. Сколько диагоналей можно провести без пересечения их друг с другом?

3. Сколько видов звездных многоугольников для каждого n-угольника существует? Можно ли найти общую формулу? Может, вам знакома эта последовательность? В пяти- и шестиугольнике по одному звездному варианту, у семиугольника — два, у восьмиугольника, как мы убедились — три. Попробуйте дальше самостоятельно.

4. А не написать ли вам программульку, выводящую все варианты звездчатых многоугольников? А лучше по запросу числа сторон и варианта обхода вершин. А еще лучше скрипт или апплет для выкладывания в Сети. Если не будете писать — все равно приятно порассуждать, как бы вы выбрали систему координат? Какой бы составили алгоритм для обхода? Как вычисляли бы центральный полярный угол следующей вершины?

5. Два варианта звездчатого многоугольника из диагоналей семиугольника можно условно назвать «тупой звездчатый многоугольник» и «острый звездчатый многоугольник». Самый острый звездчатый многоугольник получается при обходе многоугольника с нечетным числом сторон, поиграйте с ними, рисуя их вы как-бы кружитесь вокруг центра фигуры.

6. Скучноватый вопрос — чему равен угол при вершине «звездочки» в зависимости от числа сторон и вида ее?

7. Известно, что в пентаграмме диагонали в точке пересечения делятся в отношении золотого сечения. Не хотите ли найти эти отношения для других звездочек?

Совет — для рисования звездчатых многоугольников хорошо подходит популярнейший Corel Draw. В Сети материалы о видах звездчатых многоугольников найти не удалось, если вы знаете — сообщите, пожалуйста. Вот лучшее из найденного по этой теме.